수학 시간에 $y=A\sin(Bx+C)+D$를 배우며 처음에는 그래프의 모양만 익히는 단원이라고 생각했다. 그러나 주기와 진폭이 단순한 계산 대상이 아니라, 실제 전기 신호의 반복 속도와 전압의 크기를 읽는 기준이 될 수 있다는 점에서 호기심이 생겼다. 특히 교류 전압이 흔히 ‘사인파’라고 불린다면, 교과서의 삼각함수 그래프가 전기·전자공학에서 실제로 어떤 의미를 가지는지 확인해 보고 싶었다.

이 관심은 곧 하나의 질문으로 좁혀졌다. 이상적 정현파와 PWM 인버터 출력의 차이는 무엇이며, 그 차이를 삼각함수 그래프로 어떻게 설명할 수 있는가라는 탐구 질문이다. 처음 가설은 실제 인버터 출력도 거의 매끄러운 정현파와 비슷할 것이라는 것이었다. 하지만 자료를 찾아보는 과정에서 PWM은 PWM이므로, 순간적으로는 계단형 또는 펄스형 전압 전환이 나타날 수 있다는 점을 알게 되었다. 즉, 전체적으로는 정현파를 따르려 하지만 세부 파형은 완전히 같지 않을 수 있다는 문제의식이 생겼다.

분석 대상은 가정용 태양광 인버터로 정했다. 태양광 발전은 직류 전력을 만들기 때문에, 이를 가정이나 계통에서 사용하는 교류로 바꾸는 인버터가 반드시 필요하다. 전기·전자공학 진로의 관점에서 보아도, 태양광 인버터의 출력 파형 품질은 단순한 전압 모양이 아니라 계통 연계 안정성과 사용 기기 보호에 직접 연결되므로 살펴볼 가치가 크다고 판단했다.

따라서 이번 탐구는 ‘정현파와 비슷해 보이는 실제 전압도 왜 완전히 같은 그래프가 아닌가’라는 의문에서 출발한다. 이후에는 교과서에서 배운 삼각함수의 주기, 진폭, 위상 개념을 전압 파형 해석 언어로 다시 정리하고, 이를 기준으로 이상적 정현파와 PWM 인버터 출력의 차이를 1주기 단위에서 비교해 보고자 한다. 즉, 수학 개념을 실제 공학적 파형 읽기로 연결하는 것이 본 보고서의 핵심 방향이다.

앞선 섹션에서 정현파와 실제 인버터 출력의 차이를 읽기 위해서는, 먼저 교과서의 삼각함수 요소를 전기 신호 해석 언어로 바꾸어 이해할 필요가 있다. 여기서 중요한 것은 단순 정의 암기가 아니라, 각 문자가 파형에서 무엇을 뜻하는지 해석 기준을 세우는 일이다. 정현파 전압은 다음과 같이 둘 수 있다.

$$v(t)=A\sin(Bt+C)+D$$

여기서 $v(t)$는 시간 $t$(s)에 따른 전압(V)이다. 이 식의 각 요소를 전압 파형에 대응시키면 다음과 같다.

특히 주기와 진폭는 전압 파형을 읽는 가장 기본적인 기준이다. $y=\sin x$의 기본 주기는 $2\pi$이지만, 실제 시간축에서는 $B$에 따라 반복 간격이 달라진다. 주파수를 $f$(Hz), 주기를 $T$(s)라 하면

$$T=\frac{1}{f},\qquad B=2\pi f$$

가 된다. 즉, 반복이 빠를수록 주기는 짧아진다는 교과서 문장이 전기 신호에서는 ‘주파수가 높을수록 같은 시간 안에 더 많은 파형이 나타난다’는 뜻이 된다. 이 관계를 이해해야 뒤에서 같은 시간축 위에 정현파와 PWM 파형을 놓고 비교할 수 있다.

또한 위상은 단지 그래프를 좌우로 옮기는 조작이 아니라, 파형의 ‘시작 시점 차이’를 읽는 기준이다. 예를 들어 $\sin x$와 $\cos x$는 모양은 같지만 시작점이 다르다. 실제로

$$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$$

이므로 같은 파형도 기준 시점을 어디에 두느냐에 따라 식 표현이 달라질 수 있다. 전기 파형 분석에서 영점 통과 시점이나 최대값 도달 시점을 비교하려면 이 기준 설정이 중요하다. 따라서 본 보고서에서는 이후 이상적 정현파와 PWM 출력 파형을 비교할 때 주기, 진폭, 위상, 오프셋을 공통 해석 틀로 사용하겠다.

1섹션에서 태양광 인버터를 탐구 대상으로 정한 이유를 더 분명히 하려면, 먼저 인버터의 역할과 파형 품질의 의미를 정리할 필요가 있다. 인버터는 직류(DC)를 교류(AC)로 바꾸는 핵심 전력전자 장치이다. 그런데 이때 중요한 것은 단순히 ‘교류로 바뀌었다’는 사실이 아니라, 그 출력이 얼마나 이상적 정현파에 가깝게 형성되는가이다. 엔지니어는 바로 이 파형의 차이를 읽어 장치 성능을 판단한다.

출력 파형이 이상적 정현파에 가까울수록 모터나 전기기기는 더 안정적으로 작동한다. 반대로 파형에 불연속 전환이나 고조파가 많아지면 발열, 소음, 전력 손실이 커질 수 있다. 특히 모터 구동에서는 토크가 고르게 전달되지 않거나 효율이 낮아질 수 있고, 전력 변환 장치 내부에서도 스위칭 과정에서 추가 손실이 발생한다. 따라서 파형의 매끄러움은 단순한 그림의 예쁨이 아니라 성능과 직결되는 공학적 문제라고 볼 수 있다.

태양광 인버터에서는 이 문제가 더욱 중요하다. 분산전원 시스템에서는 인버터 출력이 가정 내부 기기뿐 아니라 전력 계통과도 연결되므로, 전압 파형 품질이 전력 품질과 직접 이어진다. 한국전력공사나 산업통상자원부 계열 자료에서 강조하는 전력 품질의 핵심도 전압과 주파수가 일정 기준 안에서 유지되는가에 있다. 즉, 태양광 인버터의 출력이 지나치게 왜곡되면 계통 연계 안정성에 불리하고, 사용자 측 전자기기에도 좋지 않은 영향을 줄 수 있다. 전기·전자공학 진로와 연결해 보면, 파형을 수학적으로 읽는 능력은 실제 설계와 품질 평가의 출발점이 된다.^[4][6]

한편 PWM 인버터는 처음부터 완전한 정현파를 직접 만들어 내는 장치가 아니다. 스위치를 빠르게 켜고 끄며 평균적으로 정현파에 가까운 전압을 구성하는 방식이기 때문에, 순간 파형에는 펄스나 계단형 구간이 남는다.^[1] 즉, ‘왜 인버터 출력이 완전히 매끄러운 정현파가 아닌가’라는 질문은 기술적으로 매우 자연스럽다. 이러한 배경 때문에 다음 섹션에서는 정현파의 이상적 함수 그래프와 PWM 출력 파형을 같은 기준으로 놓고 비교할 필요가 있다.

앞선 2섹션에서 정리한 주기·진폭·위상·오프셋의 해석 틀과, 3섹션에서 확인한 PWM 인버터의 스위칭 특성을 바탕으로 두 파형을 비교하였다. 이상적 교류 전압은 시간에 따라 연속적으로 변하는 함수로 나타낼 수 있다.

$$v_s(t)=A\sin(2\pi f t + C)+D$$

여기서 $A$는 최대 전압(V), $f$는 주파수(Hz), $t$는 시간(s), $C$는 위상(rad), $D$는 직류 오프셋(V)이다. 이 식의 그래프는 1주기 동안 매끄럽게 상승·하강하며 끊김이 없다. 반면 PWM 인버터 출력은 같은 큰 반복 구조를 따르더라도, 내부적으로는 스위칭에 의해 전압이 갑자기 바뀌므로 확대해서 보면 펄스형 또는 계단형 구간이 나타난다.^[1][3]

형태 차이가 가장 두드러지는 지점은 세 곳이었다. 첫째, 최대값 부근에서 정현파는 기울기가 0에 가까워지며 부드럽게 꼭대기를 지난다. 그러나 PWM 파형은 꼭대기 근처에서도 여러 번의 짧은 전압 전환이 남아 매끈한 곡선이라기보다 잘게 나뉜 단차처럼 보인다. 둘째, 영점 통과 전후에서 정현파는 0V를 자연스럽게 통과하지만, PWM 출력은 양(+)전압과 음(-)전압 사이를 스위칭하며 지나가므로 순간적인 불연속성이 더 눈에 띈다. 셋째, 기울기 변화가 큰 중간 구간에서는 정현파가 연속적인 증가·감소를 보이는 반면, PWM은 평균값은 비슷해도 미세 구간에서는 직선이 아니라 짧은 펄스들의 집합으로 표현된다.

문헌의 공개 파형 예시를 바탕으로, 1주기 비교에 필요한 항목만 공통 기준으로 정리하면 다음과 같다. 아래 수치는 특정 실측값이 아니라 형태 비교를 위한 기준 정리이며, 시간 위치는 1주기 내 상대적 시점을 뜻한다.

이를 통해 PWM 파형은 ‘정현파를 따르지 않는 전혀 다른 파형’이라기보다, 전체 외곽선은 정현파를 목표로 하지만 세부 구조는 스위칭 때문에 이상적 함수와 달라지는 파형이라고 해석할 수 있었다. 특히 스위칭 빈도나 변조 방식이 달라지면 이 근사 정도도 달라진다. 다수준 인버터나 개선된 변조 기법은 계단 수를 더 촘촘하게 하거나 고조파를 줄여 정현파에 더 가깝게 만들려 한다는 점에서, 실제 파형이 완전한 정현파가 아닌 이유는 오히려 공학적 설계의 결과라고 볼 수 있다.^[4][5] 결국 이번 비교를 통해 처음의 ‘실제 인버터 출력도 거의 정현파일 것’이라는 생각은 수정되었고, 삼각함수 그래프는 이상적 모델을 제시하는 기준, PWM 파형은 그 기준을 현실적으로 근사한 결과라는 판단에 도달했다.