처음에는 도로가 직선 구간과 원호를 이어 만든 형태라고만 생각하였다. 그러나 교과서에서 자동차 차체의 곡면이나 3차원 모델의 부드러운 곡선을 다항식으로 근사한다는 내용을 읽으며, 도로를 옆에서 본 높이 변화도 단순한 선보다 식으로 조절할 필요가 있지 않을까 생각하였다. 특히 오르막 직선과 내리막 직선이 한 점에서 바로 만나면 높이는 이어지더라도 기울기가 순간적으로 바뀐다. 이때 차량이 해당 지점을 지날 때 움직임이 불편해질 수 있다는 의문이 탐구의 출발점이 되었다.

도로의 종단선형에서는 두 구간의 높이를 같게 하는 것만으로 충분하지 않다고 보았다. 연결점 전후의 기울기와 기울기가 변하는 방식까지 함께 살펴야 승차감에 관한 판단이 가능하기 때문이다. 도로의 곡선과 경사 같은 기하 조건이 차량의 미끄러짐·전복 위험과 관련될 수 있다는 연구를 확인하며, 식으로 도로 형상을 나타내는 일이 단순히 그래프를 예쁘게 그리는 활동은 아니라는 점을 이해하였다.^[1]

탐구의 판단 기준은 다음과 같이 정리하였다.

이에 따라 질문을 두 가지로 좁혔다. 첫째, 같은 시작점과 끝점 조건에서 2차식과 3차식 중 어떤 식이 기울기 변화를 더 완만하게 표현하는가이다. 둘째, 계수를 바꾸면 가장 낮은 지점의 위치와 배수 가능성 해석은 어떻게 달라지는가이다. 안전성은 도로 특성의 여러 요소와 함께 평가되어야 한다는 점을 고려하여 보조 기준으로 두었다.^[5] 다음 절에서는 이 질문을 계산할 수 있도록 다항식의 차수와 계수를 설계 변수의 언어로 해석하고자 한다.

앞 절에서 설정한 ‘완만한 연결’과 ‘저점 위치’라는 질문을 계산하려면, 다항식을 단순한 문자식이 아니라 높이를 조절하는 모델로 보아야 한다. 수평거리 $x$를 m, 도로 높이 $y$를 m로 놓으면, 다항식의 차수는 곡선 모양을 바꿀 수 있는 정도와 관련되고, 각 항의 계수는 높이·기울기·굽음이 나타나는 위치를 조정하는 값으로 해석할 수 있다. 2차식은 한 방향으로 굽는 기본 형상을 표현하기 좋고, 3차식은 계수가 하나 더 있으므로 시작부와 끝부분의 변화를 서로 다르게 조정할 여지가 있다.

다항식의 연산도 설계 조건을 정리하는 과정으로 이해하였다. 예를 들어 기존 높이식이 $f(x)$일 때 $f(x)+0.20$은 전체 높이를 0.20 m 올리는 보정이고, $f(x)-g(x)$은 두 연결안의 높이 차이를 구하는 식이다. 또한 다음 식은 곱셈으로 조건을 한 식에 묶고, 인수분해로 두 높이가 같은 위치를 찾는 예시이다.

$$D(x)=0.0008(x-50)^2-2 =0.0008(x-100)x$$

여기서 $D(x)=0$이 되는 $x=0,\,100$ m는 두 기준 높이가 만나는 위치로 해석할 수 있다. 즉 인수분해는 계산을 짧게 하는 기술일 뿐 아니라, 곡선이 기준선과 접하거나 교차하는 조건을 읽는 방법이 될 수 있다.

같은 시작·끝 높이 조건 $y(0)=0$, $y(10)=10$을 만족하도록 세 식을 예시로 비교하였다. 아래 값은 실제 도로 수치가 아니라 차수에 따른 모양 차이를 보기 위한 가상 좌표값이다.

표에서 세 식은 시작과 끝의 높이는 같지만 중간 높이는 다르다. 직선식은 일정한 비율로 높아지는 반면, 2차식과 3차식은 초반과 후반의 높이 변화가 다르게 나타난다. 다만 이 예시만으로 3차식이 항상 더 부드럽다고 결론 내릴 수는 없다. 어떤 계수를 선택하고 어떤 기울기 조건을 부여하는가가 식의 차수만큼 중요하기 때문이다. 따라서 다음 계산에서는 실제 도로를 단순화한 공통 시작·끝 조건을 두고, 직선 연결·2차식·3차식을 같은 기준으로 비교하고자 한다.

앞 절에서 다항식의 계수를 높이와 기울기를 조절하는 값으로 해석한 것을 바탕으로, 이를 도로 설계 용어와 연결하였다. 도로의 종단선형은 진행거리별 높이의 관계이고, 종단경사는 그 높이가 거리만큼 변하는 정도이다. 서로 다른 경사의 구간을 부드럽게 잇는 부분은 종단곡선이라 부를 수 있으며, 그중 주변보다 낮은 곳은 저점, 높은 곳은 고점으로 판단한다.

도로 형상은 차량의 주행 안정성과 안전성 평가에 관련된다. Yanna Yin et al.은 도로의 곡선 및 경사 조건이 차량의 미끄러짐과 전복 위험에 영향을 줄 수 있음을 분석하였으며,^[1] Sarbaz Othman은 곡선·경사·시야와 같은 도로 특성을 안전성 평가 요소로 다루었다.^[5] 이를 통해 종단선형의 식을 비교하는 활동은 실제 위험을 직접 판정하는 실험은 아니지만, 안전한 형상을 검토하기 위한 기초 자료를 만드는 과정이라고 판단하였다.

배수도 같은 방식으로 신중히 해석해야 한다. 높이식에서 저점을 구하면 물이 모일 가능성이 있는 위치를 추정할 수 있지만, 실제 물 고임은 횡단경사, 측구, 포장 상태, 강우량, 배수시설의 상태에 따라 달라진다. 따라서 이번 탐구에서는 종단 방향의 저점만 확인하고, 이를 ‘배수 취약 가능성’으로 제한하여 표현한다.

수업에서 한 다항식의 전개·정리·대입은 설계 프로그램이 여러 거리에서 높이를 계산하는 원리와 닿아 있다. 프로그램은 주어진 경계 조건을 만족하는 식 또는 곡선을 정하고, 거리별 높이와 경사를 반복 계산한다. 다만 실제 설계는 설계속도·지형·공사비까지 함께 고려하므로, 다음 절에서는 실제 기준을 재현하기보다 높이와 기울기 변화만을 비교하는 단순 모델을 사용한다.

앞 절에서 정리한 종단경사와 저점의 의미를 이용하여, 시작점과 끝점의 높이를 모두 2.0 m, 수평거리를 100 m로 고정한 단순 모델을 만들었다. $x$는 시작점부터의 수평거리(m), $y$는 기준면으로부터의 높이(m)이다. 직선 연결은 두 직선이 저점에서 만나는 형태, 2차식은 좌우 대칭인 곡선, 3차식은 좌우 변화를 다르게 만든 곡선으로 설정하였다. 아래 식과 수치는 실제 도로 자료가 아니라 식의 형태에 따른 차이를 비교하기 위해 직접 설정·계산한 예시이다.

$$\begin{aligned} y_L(x)&=\begin{cases}2-0.04x & (0\le x\le50)\\0.04x-2 &(50<x\le100)\end{cases}\\ y_Q(x)&=0.0008(x-50)^2\\ y_C(x)&=2-0.06x+0.0002x^2+0.000004x^3 \end{aligned}$$

이 표를 스프레드시트의 꺾은선 그래프로 나타내면, 직선 연결은 $x=50$ m에서 뾰족하게 방향이 바뀌고, 2차식은 저점을 중심으로 좌우 대칭인 U자 형태가 된다. 3차식은 같은 시작·끝 높이를 유지하면서도 왼쪽에서는 비교적 빠르게 낮아지고 오른쪽에서는 늦게 높아지는 비대칭 형상을 보인다. 즉 높이만 맞춘다는 조건으로는 연결 방식의 차이를 충분히 설명할 수 없으며, 각 구간의 기울기까지 함께 비교해야 한다.

25 m 간격의 평균기울기는 $\Delta y/\Delta x$로 계산하였다. 단위는 m/m이며, 양수는 진행 방향으로 높아짐, 음수는 낮아짐을 뜻한다.

직선 연결은 각 직선 구간에서는 기울기가 일정하지만, 저점에서 음의 기울기가 곧바로 양의 기울기로 바뀐다. 반면 2차식은 기울기 변화가 여러 구간에 나뉘어 나타나므로 연결부의 변화를 더 연속적으로 해석할 수 있다. 3차식은 기울기 변화가 좌우에 균등하지 않아, 어느 구간을 완만하게 둘 것인지 계수로 조절할 수 있다는 점이 확인되었다. 이는 3차식이 무조건 우수하다는 뜻이 아니라, 시작부·끝부분 중 어디의 기울기 조건을 우선할지에 따라 활용 방식이 달라진다는 뜻이다.

계수 변화도 확인하기 위해 3차식의 $x^3$항 계수 $c$를 바꾸고, 끝점 조건 $y(100)=2$를 유지하도록 $x^2$항 계수 $b=0.0006-100c$로 조정하였다. 최소점은 미분식 $y'(x)=-0.06+2bx+3cx^2=0$을 풀어 구하였다.

계수에 따라 저점의 깊이와 위치가 달라졌으므로, 배수 관점에서는 ‘저점이 있는가’뿐 아니라 ‘어디에, 얼마나 깊게 형성되는가’를 함께 봐야 한다고 판단하였다. 다만 실제 물 고임은 횡단경사와 배수시설에도 좌우되므로, 이 결과는 종단선형만으로 한 1차 추정이다. 이번 비교를 통해 다항식 연결은 기울기 변화를 분산시키는 도구가 될 수 있으나, 적절성은 차수 자체가 아니라 경계 조건과 계수 설정에 의해 결정된다는 결론에 도달하였다.