미적분Ⅰ에서 함수의 극한을 배울 때, $x$가 매우 커질수록 함수값이 어떤 일정한 값에 가까워지는 현상을 그래프와 표로 확인한 경험이 인상적이었다. 특히 교과서의 $

$$\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2-1}}{2x+1}=\frac12$$

와 같은 예시는, 값이 계속 변하더라도 변화의 방향이 일정한 수에 수렴할 수 있음을 보여 주었다.^[1] 이때 관심을 가져야 하는 것은 단순히 값이 커지는가가 아니라, 얼마나 빠르게 커지는지, 증가폭이 줄어드는지라는 점이었다.

이 개념을 드론에 적용해 보니 새로운 질문이 생겼다. 드론 프로펠러에서 직경 $D$가 커지면 같은 회전 조건에서 더 많은 공기를 밀 수 있으므로 추력 생성에 유리해 보인다. 따라서 처음에는 직경을 계속 키우면 추력 효율도 계속 좋아질 것이라고 생각했다. 그러나 실제 기계 설계에서는 프로펠러가 커질수록 질량 증가, 모터 부하 증가, 기체 간섭, 구조 강성 문제, 배터리 전력 한계가 함께 커져 효율 향상이 점점 둔화될 수 있다.^[2][3] 즉, 공학적 성능은 단순 비례가 아니라 포화(saturation) 형태를 보일 가능성이 있다.

본 탐구에서 추력 효율은 기본적으로 소비전력 $P$ 대비 추력 $T$의 비로 단순화하여

$$\eta=\frac{T}{P}$$

로 두고 해석하였다. 여기서 $T$의 단위는 N, $P$의 단위는 W이므로 $\eta$의 단위는 N/W이다. 실제 실험에서는 직경 $D$를 독립변인으로, 효율 $\eta$를 종속변인으로 놓고 $D=5,6,7,8,9,10$ inch처럼 단계적으로 증가시킬 때 값을 비교할 수 있다. 만약 가상의 측정값 예시로 $\eta$가 0.082, 0.091, 0.097, 0.101, 0.103, 0.104 N/W처럼 변한다면, 값 자체는 증가하지만 증가량은 각각 0.009, 0.006, 0.004, 0.002, 0.001 N/W로 줄어든다. 이처럼 탐구의 핵심은 높은 값 하나를 찾는 것이 아니라 증가폭 감소와 수렴 경향을 읽는 것이다.

따라서 이번 보고서는 드론 프로펠러 직경 증가에 따른 효율 변화를, 교과서에서 배운 극한의 언어로 다시 해석하는 데 목적이 있다. 기계공학에서는 설계 변수를 무한히 키울 수 없으며, 중요한 것은 최대화 자체보다 어디서부터 추가 증가의 이득이 작아지는지를 판단하는 일이다. 이런 이유로 본 탐구는 “직경을 키우면 효율은 왜 끝없이 늘지 않는가”라는 질문에서 출발하며, 이후 섹션에서 그래프와 표를 통해 수렴과 포화의 의미를 구체적으로 분석하고자 한다.

섹션 1에서 제기한 문제의식을 수학적으로 다루기 위해, 먼저 교과서에서 제시한 그래프·표 기반 극한 확인 방법을 정리하였다. 함수의 극한은 입력값이 특정한 방향으로 갈 때 함수값이 어떤 일정한 값에 가까워지는 경향으로 이해할 수 있다. 특히 본 탐구와 직접 연결되는 형태는 $x$가 매우 커질 때의 극한, 즉

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=L$$

이다. 이는 $x$가 커질수록 $f(x)$가 $L$ 부근으로 가까워진다는 뜻이며, 반드시 어느 순간 정확히 $L$이 되어야 하는 것은 아니다.^[1]

교과서 방식의 첫 번째 절차는 그래프 확인이다. 예를 들어 $y=f(x)$와 $y=L$을 함께 그렸을 때, $x$가 오른쪽으로 커질수록 곡선이 수평선 $y=L$에 가까워지면 수렴 가능성을 읽을 수 있다. 이때 단순히 위에서 접근하는지, 아래에서 접근하는지보다 중요한 것은 두 그래프 사이의 세로 거리 $|f(x)-L|$가 점점 작아지는가이다. 즉, 극한 판단의 핵심 기준은 “값이 변하느냐”보다 “변화가 특정 값 주변으로 좁혀지느냐”에 있다.

두 번째 절차는 표 확인이다. 교과서처럼 $x=1,10,100,1000$처럼 입력값의 규모를 단계적으로 키우고, 각 함수값과 인접한 항 사이의 차이를 비교한다. 예를 들어 가상의 함수값이 0.410, 0.470, 0.493, 0.499라면 절댓값 자체보다 증가량 $0.060, 0.023, 0.006$이 줄어드는지를 본다. 이를 일반화하면 연속된 구간의 변화량은

$$\Delta f=f(x_{n+1})-f(x_n)$$

로 둘 수 있고, $x_n$이 커질수록 $\Delta f$가 0에 가까워진다면 함수값은 일정한 값에 접근한다고 해석할 수 있다. 결국 표는 ‘함수값의 크기’와 함께 ‘증가폭의 감소’를 동시에 보여 주는 도구이다.

이 관점은 섹션 1의 드론 문제와도 바로 연결된다. 프로펠러 직경이 커질수록 효율이 계속 증가하더라도, 그 증가폭이 점차 작아진다면 이는 단순 증가가 아니라 수렴을 동반한 증가로 읽어야 한다. 따라서 이후 섹션 4에서 직경-효율 관계를 분석할 때도, 그래프에서 곡선이 완만해지는 모습과 표에서 구간별 증가량이 감소하는 현상을 함께 확인하는 것을 기본 분석 틀로 삼고자 하였다. 즉, 교과서의 극한 확인 절차 자체가 이번 공학 탐구의 직접적인 방법론이 된다.

섹션 1에서 제기한 의문과 섹션 2에서 정리한 극한 판단 기준을 바탕으로, 드론 추진계를 설계 변수의 수렴 문제로 해석해 보았다. 드론의 추진계에서는 프로펠러 직경 $D$, 회전수 $n$, 소비전력 $P$, 추력 $T$, 그리고 추력 효율 $\eta=\frac{T}{P}$가 서로 연결된다. 일반적으로 직경이 커지면 더 큰 공기 유량을 만들 수 있어 추력 형성에 유리하지만, 동시에 회전계 질량과 관성, 전력 요구, 기체 배치 제약도 증가한다. 따라서 직경 증가가 효율 향상으로 이어지더라도 그 비율이 항상 일정하다고 보기는 어렵다.^[2][3]

기계공학 관점에서 보면 이는 단순 성능 비교보다 스케일 변화에 따른 한계 해석에 가깝다. 예를 들어 같은 전압 조건에서 직경을 5 inch에서 10 inch로 키울 때 효율이 계속 증가할 수는 있지만, 5→6 inch에서의 향상과 9→10 inch에서의 향상이 같지 않을 가능성이 크다. 가상의 예시로 $\eta$가 0.080, 0.089, 0.095, 0.099, 0.101, 0.102 N/W라면 구간 증가량은 각각 0.009, 0.006, 0.004, 0.002, 0.001 N/W로 감소한다. 이 경우 효율은 증가하지만, 설계 해석에서는 이미 8 inch 이후부터 포화 구간에 들어간 것으로 볼 수 있다. 즉, 공학적 질문은 “가장 큰 값이 무엇인가”보다 “어느 지점부터 추가 증가의 실익이 작아지는가”가 된다.^[1]

기존 문헌은 프로펠러 크기와 추진 효율의 관련성을 설명하고, 드론의 크기 결정과 에너지 소비 문제를 다루고 있다.^[1][2][3][6] 그러나 고등학교 수준에서 이를 교과서의 그래프·표 방식으로 재구성하여, 어느 지점부터 수렴 또는 포화로 해석할 것인가를 명시적으로 정한 사례는 상대적으로 적다. 이 점이 본 탐구의 연구 공백이라고 판단하였다. 즉, 문헌은 관계의 존재를 설명하지만, 학생 수준의 수학 탐구에서는 그 관계를 극한 개념으로 읽는 기준이 더 구체화될 필요가 있다.

이에 따라 본 보고서는 포화 임계값을 하나의 실용적 기준으로 정의하고자 하였다. 구체적으로 인접 직경 구간의 효율 증가율을

$$r_n=\frac{\eta_{n+1}-\eta_n}{\eta_n}\times100(\%)$$

로 둘 때, $r_n$이 5% 이하로 감소하는 첫 구간을 포화 임계 구간으로 보는 방법을 제안한다. 이 기준은 섹션 2의 ‘증가폭 감소’라는 수학적 관찰을, 실제 추진계 해석에 적용한 것이다. 따라서 다음 섹션에서는 “직경 증가에 따른 추력 효율은 어떤 값에 가까워지는가”와 “증가폭이 5% 이하로 줄어드는 임계 직경은 어디인가”라는 두 연구질문을 중심으로, 설계 최적화의 의미를 구체적으로 분석하고자 한다.