사진 E*ok / Public domain
AI가 푼 수학 올림피아드
AI가 수학 올림피아드 금메달 수준에 오르다
확률과 통계 · 경우의 수 · 수학교육
구글 딥마인드의 제미나이 딥싱크가 2025년 국제수학올림피아드(IMO)에서 6문제 중 5문제를 풀어 42점 만점에 35점을 받아, AI로는 처음으로 금메달 기준을 넘었습니다. 사람과 같은 4시간 30분 제한 안에서, 별도의 형식 변환 없이 자연어로 풀이를 써낸 점이 한 해 전 알파프루프의 은메달(2024년, 28점)과 달라진 부분입니다.
수학 교사를 꿈꾸는 학생이라면, '증명을 누가, 어떻게 검증하는가'라는 질문을 수업으로 가져올 수 있습니다.
'경우의 수' 단원에서 중복순열은 서로 다른 n개에서 중복을 허용해 r개를 택해 일렬로 나열하는 것으로, 그 수는 n의 r제곱입니다. 첫째 자리부터 r째 자리까지 올 수 있는 경우가 각각 n가지씩이므로, 곱의 법칙에 의해 n을 r번 곱하기 때문입니다. 예를 들어 0부터 9까지 숫자 10개에서 중복을 허용해 네 자리 비밀번호를 정하는 경우의 수는 10의 4제곱인 10,000가지입니다.
'경우의 수' 단원은 일어날 수 있는 모든 경우를 곱의 법칙으로 빠짐없이, 그러면서 겹치지 않게 헤아리는 엄밀하게 따지는 사고를 훈련합니다. 비밀번호 10,000가지를 하나도 빠뜨리거나 겹치지 않게 세려면, 왜 그 수가 10의 4제곱인지를 근거로 설명할 수 있어야 합니다.
AI가 올림피아드 문제를 풀어냈다는 사건의 핵심도 결국 풀이의 각 단계가 빠짐없이 타당한가에 있습니다. 경우의 수를 셀 때 한 단계씩 근거를 대는 습관은, AI가 내놓은 답이 정말로 증명됐는지 따지는 태도와 같은 뿌리를 둡니다.
경우의 수를 셀 때는 두 가지 조건을 동시에 지켜야 합니다. 어떤 경우도 빠뜨리지 않고(완전성), 같은 경우를 두 번 세지 않는(중복 배제) 것입니다. 중복순열에서 n의 r제곱이라는 결론도, 각 자리의 선택이 서로 독립이라는 근거 위에서만 성립합니다. 만약 자리들 사이에 '같은 숫자는 못 쓴다' 같은 제약이 숨어 있으면, 곱의 법칙을 그대로 쓸 수 없고 순열이나 조합으로 바꿔야 합니다.
이 '근거 없이는 한 줄도 못 넘어간다'는 태도가, AI 풀이를 검증하는 일과 정확히 닿아 있습니다. IMO 채점자들은 제미나이가 내놓은 자연어 증명이 중간에 건너뛴 단계 없이 한 줄씩 정당한지를 사람이 직접 확인했습니다. AI가 답을 맞혔다는 것과 그 풀이가 빈틈없이 증명됐다는 것은 다른 문제이기 때문입니다. 경우의 수에서 '왜 곱하는가, 왜 나누는가'를 매번 근거로 설명하는 훈련은, 그럴듯해 보이는 풀이에서 빠진 단계를 찾아내는 눈을 길러 줍니다.
생기부 기재 예시
AI가 올림피아드 금메달 기준을 넘은 기사에 호기심을 가져 경우의 수 단원과 연결해 탐구함. 중복순열의 의미를 정리하고, 서로 다른 n개에서 r개를 중복 허용해 나열할 때 각 자리에 n가지씩 올 수 있음을 곱의 법칙으로 설명하며 n의 r제곱이 되는 과정을 체계적으로 분석함. 또한 0부터 9까지 숫자로 네 자리 비밀번호를 만드는 예를 들어 10,000가지 경우를 직접 계산하고, 빠짐없이 세는 이유를 근거와 함께 제시함. 나아가 AI가 수학 풀이를 제시할 때도 각 단계의 타당성을 검증해야 함을 논리적으로 정리하여 수학 교육 분야에 적성을 보임. 이를 바탕으로 검증 기준 정리 보고서를 작성하고 발표함.
* 2026 생기부 기재 가이드라인, MOE Q&A와 FAQ, 메디컬저널 작성 공식 반영