푸리에 급수와 심전도(ECG) 수학적 모델링

✔️ 안녕하세요, 의약계열 학종 심화탐구 세특의 교과서 메디컬저널입니다.

조제프 푸리에의 '푸리에 해석(Fourier analysis)'

✔️ 차원해석의 창시자로 꼽히는 프랑스 수학자 조제프 푸리에는 자신의 저서 <열의 해석적 이론>에 '임의의 주기 함수들은 모두 삼각함수의 급수로서 나타낼 수 있다'라는 푸리에 정리를 소개하였으며 이에 기반한 푸리에 해석 기법은 의약학 데이터 해석, 분석을 비롯해 전파통신, 신호처리, 영상처리, 데이터 압축 등 공학과 과학의 모든 분야에 널리 활용되고 있습니다.

❗️많은 고등학생들이 세특 심화탐구 주제로서 푸리에 해석과 관련된 내용들을 활용하는 것으로 알고 있습니다. 특히 미적분 과목과 연계하여 푸리에 적분과 푸리에 변환에 대한 심화탐구를 하는 것이 가장 일반적인 것으로 보입니다. 다만, 푸리에 해석과 관련된 내용들, 특히 푸리에 적분과 변환은 고등수학 수준에서 설명하기가 쉽지 않으며 이는 교과 과목과의 연계성이 떨어지는 무의미한 대학수학의 내용들로만 채워진 세특으로 이어질 우려가 있습니다. 교과 내용을 응용하여 푸리에 해석을 이해하고 탐구하였다는 점을 어필하기 위해서는, 대학 수준의 복잡한 수식적 요소보다는 푸리에 해석의 기초부터 시작하는 것이 좋으나 고등학생들이 이러한 연계성을 살려 탐구를 진행하기위해 참고할 수 있는 자료들은 거의 없는 것 같습니다.

❗️메디컬저널에서는 이러한 푸리에해석의 기초, 개념적 배경으로서 '푸리에 급수'에 대해 우선적으로 정리해보도록 하겠습니다. 특히 푸리에 급수는 수학1의 '삼각함수'와 '수열의 합(급수)' 내용을 포함하고 있기 때문에, 추후 푸리에 적분과 푸리에 변환을 주제로 미적분 과목의 심화 탐구를 진행하기 이전에 그 선행탐구로서 수학1 교과 세특으로서 작성하기에 아주 매력적이며 교과 세특의 과목간 유기적인 연계성을 살리기에도 좋은 선택이라 생각됩니다.

물론 푸리에급수 역시 식의 전개 등 수식적 요소들까지 완전히 이해하기 위해서는 적분 등의 미적분학 개념이 필요합니다. 따라서 이번 수학1 교과 탐구에서는 푸리에 해석의 가장 기초가 되는 푸리에 급수를 수학1 수준에서 개념적으로 살펴보며 또한 해당 개념이 의약학적 관점에서 ECG(심전도) 등에 어떻게 적용될 수 있는지를 살펴보도록 하겠습니다.

✔️ 수학1 교과 내용들 중 응용적 측면을 떠올려내기가 가장 어려운 단원 중 하나는 삼각함수라는 점에 나를 포함한 많은 학생들이 아마 공감할 것이라 생각된다. 고등 수학에서는 단순히 삼각비의 좌표평면에서의 함수인 sin, cos, tan의 개념과 계산을 위한 공식들, 더 나아가 복잡한 삼각함수의 합성이나 미적분에 대해서만 배우기 때문에 이러한 수학적 개념의 응용적 측면을 생각해내기가 더더욱 어렵게 느껴진다.

직각 삼각형에서의 두 변의 비율적 관계를 θ 에 따른 함수로 나타낸 삼각함수가 어떤 활용적인 의미가 있을까? 단순히 삼각함수를 직각 삼각형이라는 도형적 관점에서 바라보는 것은 수학문제를 풀이하는 것 외에 응용적 측면에서는 큰 의미가 없다고 할 수 있으며, 삼각함수가 푸리에 급수 등으로 여러 과학 분야에 활용될 수 있는 핵심은 삼각함수는 θ에 따라 반복되는 주기를 가지는 주기함수라는 점에 있다. 이번 탐구에서는 주기함수의 관점에서 삼각함수를 정리해보고 또한 수열의 합(급수) 내용도 포함하고 있는 '푸리에급수'에 대해 정리해보며 또한 해당 수학 개념이 의약학 분야에 어떻게 적용될 수 있는지를 탐구해보려 한다.

삼각함수와 주기 아날로그 신호인 정현파

✔️ 삼각비와 삼각함수의 기초적인 정의 등을 생략하며 가장 먼저 삼각함수를 주기 신호적인 관점(파동적 관점)에서 심화 탐구에 필요한 용어들을 정리해보도록 하겠습니다.

❗️주기적 함수 혹은 주기적 신호를 총칭해 '정현파(Sinusoidal wave)'라 합니다. 정현파로서 주기적인 함수를 분석하는 것은 주기적인 물리 현상을 수학적으로 표현할 수 있는 도구가 됩니다. 정현파는 원의 회전으로부터 시작되는 개념이라 할 수 있는데, 한 점이 원 위를 일정한 각속도로(등속 원운동) 운동할 때, 시간에 따른 물체의 위치를 표현한 함수가 바로 정현파가 됩니다.

❗️이때 좌표평면 상에서 등속원운동하는 점의 위치를 생각해보면, 점의 x좌표와 y좌표 모두 시간에 따라 주기적으로 변화하게 됩니다. 이때 정현파는 시간(t)이라는 변수를 한 축으로 하여 위치를 나타내므로, 그래프로서 x와 y의 변화를 동시에 나타낼 수 없으며, 따라서 시간에 따른 x값, 혹은 시간에 따른 y값을 각각 표현해야 합니다. 이 때 시간에 따른 y값의 변화를 나타낸 것이 바로 사인파(Sine wave)이며 x값의 변화를 나타낸 것이 바로 코사인파(Cosine wave)가 됩니다.