푸리에 계수 공식 유도와 직교성 증명

✔️ 안녕하세요 의약계열 심화탐구의 교과서 메디컬저널입니다. 메디컬저널에서는 실질적 도움이 되지 않는 얕은 수준의 탐구 자료들을 무분별하게 찍어내는 것이 아닌, 메디컬 분야에만 집중하여 다른 학생들과 완전히 차별화될 수 있는, 또한 즉시 사용할 수 있는 자료만을 제공합니다.

❗️이번 게시글은 지난 푸리에 해석 1편의 내용을 뒷받침하는 수학적 내용에 관한 것입니다. 지난 게시글은 수학1의 '삼각함수', '수열의 합' 내용과 연계하여, 삼각함수 수열의 합 '푸리에급수'에 대한 이론적 내용들을 살펴보았습니다.

미적분(혹은 수학2의 미적분)을 배운 학생들은 이번 탐구 내용을 이전 탐구에 더하여 통합적 탐구를 진행하면 좋을 듯 합니다. 푸리에 계수를 구하는 방식에 대한 자료는 쉽게 찾아볼 수 있으나 고등학생 맞춤의 자료는 찾아볼 수 없었습니다. 메디컬저널에서는 고등학생의 관점에서 차근차근 쉽게 풀어 설명해보도록 하겠습니다.

함수의 직교성(Orthogonality)?

✔️ 앞선 탐구에서 살펴본 것 처럼, 직교성이란 두 성분 사이에 어떠한 관계도 없음을 의미하며, 어떤 대상이나 현상을 설명할 때 독립적으로 나타내주어야 하는 요소라 할 수 있습니다. 기하 과목에서 배우겠지만, 직교성이란 주로 벡터 사이의 관계를 정의하는데 사용되는 개념입니다. 좌표평면의 x축과 y축 처럼 수직인 두 벡터 사이에는 직교성이 존재하며, 이는 두 벡터가 서로 관계가 없음을 의미합니다.

좀 더 수학적으로 설명하자면, 벡터의 경우 두 벡터의 내적이 0일 때 두 벡터는 직교성을 가지는 것으로 정의합니다. 아마 통합과학이나 물리 등에서 배워 알고 있는 것 처럼, 벡터란 크기와 방향을 모두 가지는 것으로서 크기만을 가지는 스칼라량과는 다릅니다. 다만, 벡터의 내적 값은 스칼라량인데, 벡터의 내적이란 두 벡터 사이의 곱을 의미하며, 서로 다른 방향인 벡터들을 곱하기 위해서는 우선 방향을 일치시켜 주어야 합니다.

위의 그림처럼 벡터 A와 B가 있을 때, 방향을 일치시켜주기 위해 A와 B중 어느 하나에 코사인Θ값을 곱해주며, 이제 방향이 일치된 벡터들은 스칼라량으로 취급할 수 있게 됩니다. 이는 벡터 A 중, cosΘ을 통해 벡터 B와 일치하는 방향만을 뽑아내는 것이라 할 수 있습니다. 다만, 두 벡터가 직각을 이루는 경우 cos Θ값은 0이 되며, 두 벡터의 내적값은 0이 됩니다. 이는 다르게 말하자면 벡터 A에는, 벡터 B의 방향과 일치하는 성분이 하나도 존재하지 않음을 의미하며 이것이 바로 직교성의 의미에 해당합니다.

$\int _{\ }^{\ }f\left(x\right)\times g\left(x\right)\ dx\ =\ 0\ 일때,\ f\left(x\right)와\ g\left(x\right)는\ 직교성을\ 가진다.$

❗️벡터에서는 두 벡터의 내적 값이 0인 경우, 두 벡터가 직교성을 가진다고 정의하였습니다. 다만, 두 함수 사이의 직교성을 판단하는 것은 벡터와는 다른데, 두 함수 곱의 적분 값이 0인 경우 두 함수 사이에는 직교성이 있다고 정의합니다. 두 함수를 곱한 것의 적분 값이 0인 것이 왜 두 함수 사이의 직교성을 의미하는지에 대한 증명은 기하 과목의 심화탐구로 추후 진행하도록 하겠습니다.

• 이번 탐구에서는 함수의 직교성의 정의를 전제라 가정하고 시작하도록 하겠습니다.

Cos함수와 Sin함수의 직교성

✔️ 두 함수가 직교성을 가진다는 것은, 두 함수의 곱을 적분한 값이 0이되는 것을 의미한다는 사실을 통해 코사인 함수와 사인함수 사이의 직교성을 판단해보도록 하겠습니다. 즉, 직교성을 확인하기 위해서 우리는 두 함수를 곱하여 적분한 값이 0이 되는 것을 증명해내면 됩니다.

❗️우선, 직교성을 살펴보기 이전 아래의 삼각함수 공식을 숙지하고 있어야 합니다.